矩阵论：矩阵级数

矩阵级数介绍

在数学分析中，级数（特别是幂级数）的理论占有重要地位。在建立矩阵分析的理论时，矩阵级数，特别是幂级数，是建立矩阵函数的理论基础。

类似数列级数，我们给出其收敛、发散以及和的定义。

定义 1

把矩阵序列所形成的无穷和 $A^{(0)} + A^{(1)} + A^{(2)} + \cdots + A^{(k)} + \cdots$ 称为 矩阵级数，记为 $\sum_{k = 0}^{\infty} A^{(k)}$。则有：
$$
\sum_{k=0}^\infty A^{(k)} = A^{(0)} + A^{(1)} + A^{(2)} + \cdots + A^{(k)} + \cdots
$$

定义 2

记 $S^{(N)} = \sum_{k=0}^N A^{(k)}$，称其为矩阵级数的部分和。如果矩阵序列 ${S^{(N)}}$ 收敛，且有极限 $S$，则有：
$$
\lim_{N \to \infty} S^{(N)} = S
$$
那么就称矩阵级数收敛，并且有 $S$，记为：
$$
S = \sum_{k=0}^\infty A^{(k)}
$$
不收敛的矩阵称为 发散 的。

若用 $s_{ij}$ 表示 $S$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素，那么，和 $\sum_{k=0}^N A^{(k)} = S^{(N)}$ 的意义是：
$$
\sum_{k = 0}^{\infty}a_{ij}^{(k)} = s_{ij}, \quad (i=1,2,\dots,m; \quad j=1,2,\dots,n)
$$

定义 3

如果上述级数中 $mn$ 个数项级数都是绝对收敛的，则称矩阵级数是 绝对收敛 的。

我们不再赘述有关矩阵级数绝对收敛的一些判别和性质，而是将重点放在矩阵的幂级数上。

首先，我们看一个比较简单的方阵幂级数。

定理 1

方阵 $A$ 的 幂级数（Neumann 级数）
$$
\sum_{k = 0}^{\infty} A^k = I + A + A^2 + \dots + A^k + \dots
$$
收敛的充要条件是 $A$ 为收敛矩阵，并且在其收敛时，其和为 $(I - A)^{-1}$。

如果用级数和来估算部分和矩阵，会存在一定误差：

定理 2

设方阵 $A$ 对某一矩阵范数 $\Vert \cdot \Vert$ 有 $\Vert A\Vert < 1$，则对任何非负整数 $N$，以 $(I-A)^{-1}$ 为部分和 $I + A + A^2 + \dots + A^N$ 的近似矩阵时，其误差为：
$$
\Vert (I-A)^{-1} - (I + A + A^2 + \dots + A^N)\Vert \le \frac{\Vert A\Vert ^{N+1}}{1 - \Vert A\Vert}
$$

现在，我们继续将矩阵幂级数 $\sum_{k = 0}^{\infty} c_kA^k$ 与对应的纯量幂级数 $\sum_{k = 0}^{\infty} c_kz^k$ 建立联系。

定理 3

设幂级数
$$
f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty}c_kz^k
$$
的收敛半径为 $r$，如果方阵 $A$ 满足 $\rho (A) < r$，则矩阵幂级数
$$
\sum_{k = 0}^{\infty}c_kA^k
$$
是绝对收敛的；如果 $\rho (A) > r$，则矩阵幂级数是发散的。