矩阵论：矩阵序列

矩阵序列介绍

在《线性代数》课程中主要学习了矩阵的代数运算，我们继续将《数学分析》中的理论推广至矩阵空间，对于矩阵的分析，类似数列，我们同样从极限理论开始，介绍矩阵序列的极限运算。

定义

设 ${A^{(k)}}{k=1}^\infty$ 是一个矩阵序列，其中 $A^{(k)} \in \mathbb{C}^{m \times n}$。当 $a{ij}^{(k)} \to a_{ij}(k \to \infty)$ 时，称 ${A^{(k)}}$ 收敛，或成矩阵 $A = (a_{ij}){m \times n}$ 为 ${A^{(k)}}$ 的极限，或称 ${A^{(k)}}$ 收敛于 $A$，记为
$$
\lim{k \to \infty} A^{(k)} = A, A^{(k)} \to A
$$
不收敛的矩阵序列称为 发散。

同样，矩阵序列收敛有很多与数列收敛类似的性质，此处不再赘述，继续往下研究其收敛的等价条件。

定理

定理 1 设 $A^{(k)} \in \mathbb{C}^{m \times n}$，则

1. $A^{(k)} \to O$ 的充要条件是 $\Vert A^{(k)}\Vert \to 0$；
2. $A^{(k)} \to A$ 的充要条件是 $\Vert A^{(k)} - A \Vert \to 0$；

这里，$\Vert \cdot \Vert$ 是 $\mathbb{C}^{m \times n}$ 上任何一种矩阵范数。

至此，我们将矩阵收敛的判断与范数建立了联系。

定义

定义 1 矩阵序列 ${A^{(k)}}$ 称为 有界 的，如果存在常数 $M > 0$，使得对于一切 $k$ 都有
$$
\left | a_{ij}^{(k)}\right | < M(i = 1,2,\dots,m;j = 1,2,\dots,n)
$$

定义 2 设 $A$ 为方阵，且 $A^k \to O(k \to \infty)$，则称 $A$ 为 收敛矩阵。

定理

定理 2 $A$ 为收敛矩阵的充要条件是 $\rho(A) < 1$。

定理 3 $A$ 为收敛矩阵的充分条件是只要有一种矩阵范数 $\left|\cdot\right|$，使得 $\Vert A \Vert < 1$。