矩阵论：矩阵可逆性条件、条件数和谱半径介绍
矩阵可逆性条件、条件数和谱半径介绍
在明确了范数的定义后，我们对它的几点应用进行列举。
定理 2.6
设 $A\in \mathbb{C}^{n \times n}$，且对 $\mathbb{C}^{n\times n}$ 上的某种矩阵范数 $\Vert \cdot \Vert $，若 $\Vert A \Vert < 1$，则矩阵 $I-A$ 可逆（非奇异），且有：
$$
\Vert (I - A)^{-1} \Vert \leq \frac{\Vert I \Vert }{1 - \Vert A \Vert }
$$
定理 2.7
设 $A\in \mathbb{C}^{n \times n}$，且对 $\mathbb{C}^{n\times n}$ 上的某种矩阵范数 $\Vert \cdot \Vert $，若 $\Vert A \Vert < 1$，则有：
$$
\Vert I - (I - A)^{-1} \Vert \leq \frac{\Vert A \Vert }{1 - \Vert A \Vert }
$$
逆矩阵的摄动
在实际应用问题中，矩阵参数往往为非准确值，即带有误差 $\delta$，我们希望其构成的近似矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 与准确矩阵 $A + \delta a_{ij}(i,j = 1,2,\dots,n)$ 的逆矩阵 $(A + \delta a_{ij})^{-1}$ 尽量接近。
一般称 $\delta a_{ij}$ 为 扰动，$\delta A$ 为 $A$ 的 摄动矩阵。
摄动定理
定理 2.8
设 $A\in \mathbb{C}^{n \times n}$ 且 $A$ 可逆，$B\in \mathbb{C}^{n\times n}$，且对 $\mathbb{C}^{n\times n}$ 上的某种矩阵范数 $\Vert \cdot \Vert $，若 $\Vert A^{-1}B \Vert < 1$，则有：
- $A + B$ 可逆；
- 记 $F = I - (I + A^{-1}B)^{-1}$，则 $\Vert F \Vert \leq \frac{\Vert A^{-1}B \Vert }{1 - \Vert A^{-1}B \Vert }$；
- $\frac{\Vert A^{-1} - (A + B)^{-1} \Vert }{A^{-1}} \leq \frac{\Vert A^{-1}B \Vert }{1 - \Vert A^{-1}B \Vert }$。
若令 $\delta$ 是个小量，并且令
$$
cond(A) = \Vert A \Vert \Vert A^{-1}\Vert
$$
则当 $\Vert A^{-1}\Vert \Vert \delta A \Vert < 1$ 时，
$$
\frac{\Vert A^{-1} - (A + \delta A)^{-1}\Vert}{\Vert A^{-1}\Vert}\leq \frac{cond(A)\frac{\Vert \delta A\Vert}{\Vert A\Vert}}{1 - cond(A)\frac{\Vert\delta A\Vert}{\Vert A\Vert}}
$$
称 $cond(A)$ 为矩阵 $A$ 的 条件数，一般情况下，条件数越大，$(A + \delta A)^{-1}$ 和 $A^{-1}$ 的相对误差就越大。往往在用算法进行矩阵求逆时，先计算条件数，判断矩阵的逆是否“好求”。
矩阵谱半径
定义
设 $A\in \mathbb{C}^{n \times n}$ 的 $n$ 个特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$，称
$$
\rho (A) = \max\limits_{i}\left|\lambda_i\right|
$$
为 $A$ 的 谱半径。
定理 2.9
设 $A\in \mathbb{C}^{n \times n}$，则对 $\mathbb{C}^{n\times n}$ 上任何一种矩阵范数 $\Vert \cdot \Vert $，都有
$$
\rho (A) \leq \Vert A \Vert
$$
定理 2.10
设 $A\in \mathbb{C}^{n \times n}$，对 $\forall \epsilon > 0,\exists \Vert \cdot \Vert ,s.t.$
$$
\Vert A \Vert _M \leq \rho (A) + \epsilon
$$
由上述定理可见，谱半径小于等于任意矩阵范数，同时也必存在一个算子范数，小于等于谱半径加上一个很小的正数。
谱半径在迭代法中的应用
谱半径在数值分析和迭代法中起到了关键作用，尤其是在矩阵幂法、迭代求解线性方程组的收敛性分析等领域。例如，当利用迭代法解线性方程组时，谱半径决定了迭代矩阵是否收敛。
定理 2.11
在数值线性代数中，迭代法通常用于求解线性方程组 $Ax = b$。设迭代法的一般形式为：
$$
x^{(k+1)} = B x^{(k)} + c,
$$
其中，$B$ 为迭代矩阵，$c$ 为常向量，$k$ 为迭代次数。
迭代法的收敛性由迭代矩阵 $B$ 的谱半径决定：
- 必要条件：如果迭代法收敛，即 $x^{(k)} \to x^$ ($x^$ 为精确解)，则迭代矩阵 $B$ 的谱半径必须满足：$\rho(B) < 1$；
- 充分条件：如果 $\rho(B) < 1$，则对于任意初始值 $x^{(0)}$，迭代法都会收敛到线性方程组的唯一解 $x^*$。