矩阵论：欧式空间中线性变换的求法
欧式空间中线性变换的求法
有了前两节的铺垫，下面，我们正式介绍欧式空间中线性变换的求法。
我们将问题描述如下：
问题描述：
- 在欧式空间中给定线性变换 $T: \mathbb{V}^n \to \mathbb{V}^n$，比如：$T( \boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X} \boldsymbol{B}(\forall \boldsymbol{X} \in \mathbb{V})$，其中 $\boldsymbol{B}$ 给定。
- 目标： 寻找一组新基，使得 $T$ 在这组基下的矩阵表示为对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ 或 Jordan 标准型 $\boldsymbol{J}$。
首先，我们以课本 [矩阵论] 中的例题 1.36 为例，说明对称变换的求法：
例 1.36
在欧氏空间 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的内积定义为 $$( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})=tr ( \boldsymbol{A}^\top \boldsymbol{B})$$，子空间
$$
V=\left{ \boldsymbol{X} =\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2}\ x_{3} & x_{4} \end{bmatrix} \mid x_{3}-x_{4}=0\right}
$$
$V$ 中的线性变换为
$$
T( \boldsymbol{X})= \boldsymbol{X} \boldsymbol{B}{0}\quad (\forall \boldsymbol{X} \in V), \boldsymbol{B}{0}=\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{bmatrix}
$$
- 求 $V$ 的一个标准正交基；
- 验证 $T$ 是 $V$ 中的对称变换；
- 求 $V$ 的一个标准正交基，使 $T$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。
解：
(1) 先找到一组普通的基，再进行 Schmidt 正交化
$$
\boldsymbol{X}=\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} \ x_{3} & x_{4} \end{bmatrix}=x_{1}\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}+x_{2}\begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}+x_{3}\begin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 1 \end{bmatrix}
$$
一组标准正交基为：
$$
\boldsymbol{X}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{X}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{X}_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0 & 0\ 1 & 1 \end{bmatrix}
$$
(2) 计算 $T$ 在这组基下的矩阵表示
$$
T(\boldsymbol{X}_1 , \boldsymbol{X}_2, \boldsymbol{X}_3) = (\boldsymbol{X}_1 , \boldsymbol{X}_2, \boldsymbol{X}_3)\boldsymbol{A} \Rightarrow \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\ 2 & 1 & 0\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
$$
(3) 计算新的正交基，使 $T$ 在该基下为对角矩阵
$$
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^\top
$$
其中：
$$
\boldsymbol{\Lambda}= \begin{bmatrix} 3 & & \ & 3 & \ & & -1 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{Q}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$
计算得到的新基：
$$
\boldsymbol{Y}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0 & 0\ 1 & 1 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{Y}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{Y}_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} -1 & 1\ 0 & 0 \end{bmatrix}
$$
线性变换的一般求法
若 $V$ 是欧式空间，$T$ 是 $V$ 上的一个线性变换：
-
任意找到 $V$ 的一个基，并通过 Schmidt 正交化法得到 $V$ 的一个标准正交基，记为 $e_1,e_2,\cdots,e_n$；
-
求 $T$ 在该标准正交基下的矩阵表示 $\boldsymbol{A}_0$：
$$ T(e_1,e_2,\cdots,e_n) = (e_1,e_2,\cdots,e_n)\boldsymbol{A}_0 $$
-
将 $\boldsymbol{A}_0$ 化为 Jordan 标准型 $\boldsymbol{J}$：
$$ \boldsymbol{A}_0 = \boldsymbol{P}\boldsymbol{J} \boldsymbol{P}^{-1} $$
-
右乘 $\boldsymbol{P}$：
$$ T(e_1,e_2,\cdots,e_n)\boldsymbol{P} = (e_1,e_2,\cdots,e_n)\boldsymbol{P}\boldsymbol{J} $$
-
取新基 $(\boldsymbol{E}_1, \boldsymbol{E}_2, \cdots, \boldsymbol{E}_n) = (\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n)\boldsymbol{P}$，则线性变换在新基下的矩阵表示为 $\boldsymbol{J}$。
以上方法可用于简化计算，使得多项式函数 $z = (T^k)(x),x\in V$ 的求解更加简便。