9.4 Group 群

Inverse

Defination: 令$(S, *)$是一个幺半群，$x \in S$。当$\exists y \in S, x * y = y * x = e$，则称$y$为$x$的逆元，记为$x^{-1}$。
单位元一定是可逆的。
逆元是唯一的。
Prove: 设$(S, *)$是一个幺半群，$x \in S$可逆，若$\exists y_1,y_2$为$x$的逆元，
有$y_1 = y_1 * e = y_1 * (x * y_2) = (y_1 * x) * (y_2) = e * y_2 = y_2$

Group 群

Defination1: 由上面引出，若$(S, *)$是一个幺半群，如果每一个元素均可逆，则$(S, *)$构成一个群。
Defination2: 拓展半群的定义：

1. Closure 运算封闭性；
2. Associativity 结合律
3. Identity 存在单位元
4. Inverse 每个元素都有逆元
   引理: $(S, *)$是幺半群，令$G$是其所有可逆元素构成的子集，则$(G, *)$是群。
   Properties:
5. $(a^{-1})^{-1} = a$
6. $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$
7. $ab = ac \rightarrow b = c$（左消去律）
8. $ba = ca \rightarrow b = c$（右消去律）
   事实上，群的定义可以减弱为$\textbf{ea = a}$
   Prove: $ae = aa^{-1}(a^{-1})^{-1} = e(a^{-1})^{-1} = ea$

几类特殊的群

Abelian Group 阿贝尔群/交换群

Defination: $(G, *),\forall x,y \in G, x * y = y * x$。

平凡群

Defination: $({e}, *)$

General Linear Group n阶一般线性群

Defination: $n * n$阶可逆实矩阵构成的乘法群，$GL_n® = {A \in M_n®:det(A)\neq0}$

Subgroup 子群

Defination: $H$是$G$的子群，记作$H < G，满足：

1. $e \in H$
2. 封闭性
3. 都有逆元
   还可以压缩为：
4. 非空$H \subset G$
5. $\forall x,y \in H,ab^{-1} \in H$
   上述也可以作为判定方法。

Homomorphism 群同态

Defination: $(G, ),(G’,‘)$ 是两个群，$f:G \rightarrow G’$是一个群同态，那么有

1. $f(e) = e’$；
2. $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$；
3. $H$是$G$的一个子群，那么$f(H) = {f(h)|h \in H}$也是$G’$的一个子群；
   命题: $det:GL_n®\rightarrow (R, )$是一个乘法群同态，即行列式是一般线性群到实数乘群的一个群同态。
   对$SL_n®={A \in GL_n®:det(A) = 1}$，显然1是$(R, )$的单位元，那么，
   $SL_n® = det^{-1}(1)=det^{-1}({1})$，翻译成人话，特殊线性群是那些映射到单位元元素的矩阵的集合，即它是实数乘群中单位元的一个原象，也是下面提到的正规子群**。
   满同态，单同态
   Note! 单同态当且仅当$Ker(f) = {e}$，要证明群同态是单射，只需证$Ker(f) = {e}$。

Kernal, Image 核/像

Defination: $f:G \rightarrow G’$是一个群同态，$Ker(f) = {a\in G|f(a)=e’},Im(f)=f(G)={y\in G:\exists x\in G,y = f(x)}$

同态基本定理

Defination: 设$f:G \rightarrow G’$是同态，$R$是$G$上的关系且被定义为$aRb \iff f(a) = f(b)$，那么有：

1）$R$是同余关系；
2）$G’$和$G/R$同构；

Isomorphism 同构

Defination: 双射的同态。

Direct Product 群的直积

Defination: $(x, y)*(x’,y’)=(x \circ_1 x’, y \circ_2 y’)$

Finate Group 有限群

Defination: $G\space is\space Finate\space Group \iff G$是一个有限集合
The Order of Group 群的阶

Defination: 若$x \in G$，如果$\exists 最小正整数n \in N,s.t.x^n=e$，则$|G|=n$，若不存在，则$|G|=\infty$
命题1: 有限群的每一个元素经过有限次自乘都可以得到单位元。

Cyclic Group 循环群

命题1: 令$G=$是有限循环群，假设$|x| = n$，则$G = {e,x^2,……,x^n}$，其中元素是两两不同的，则称有限群$G$的阶为$n$。
可以用Cayley图进行可视化表示：命题2: 任意n阶循环群互相同构，无限循环群也是互相同构的。
命题3: 任意循环群都是交换群。
命题4: 令$G = $为无限循环群，G只有两个生成元分别为$x,x^{-1}$。
几类特殊的循环群:

$(Z, +) = <1>,1$或$-1$是它的生成元，无限循环群；
Lagrange定理: 若$H$是$G$的子群，则$|H|\space |\space |G|$。

Coset 陪集

左陪集

Defination: $H$是$G$的一个子群，$aH = {ah|h \in H},a \in G$，陪集一般不是子群。
定义$f:H \rightarrow aH,f(x)=ax$，显然是双射，则$|H|=|aH|$。
命题1: 两个左陪集要么相等要么无交，所有陪集构成群的一个分拆。
可以定义为商集$G/H$
右陪集
如何赋予商集一个群的结构？

Normal Group 正规子群

Defination: $N<G,\forall a \in G,aN = Na$，记作$H \lhd G$，此时$(G/N,\circ)$称为商群。其单位元为$eN = N$，逆元为$a^{-1}N$
商群: 可以通过正规子群来生成商集，并定义二元运算为$(aN) \times (bN)=[a]\circ [b] = [a * b] = abN$
同时有函数定义为$f_R:G \rightarrow G/R, f_R(a) = aN$,则$f_R$是由$G \rightarrow G/R$的同态，一般记为$G/N$。
定理: 设$G$的正规子群$N$，设定义在$G$上的关系$R: aRb \iff ab^{-1} \in N$，那么有：

1. $R$是$G$上的同余关系；
2. $N = [e]$；
   Prove: $证明自反性: aa^{-1}=e \in N \Rightarrow aRa$
   $证明对称性, if\space aRb, then\space ab^{-1}\in N,由于其存在逆元，则(ab^{-1})^{-1}=ba^{-1}\Rightarrow bRa$
   $证明传递性,if\space aRb,bRc,then\space ab^{-1},bc^{-1}\in N,由封闭性,ab^{-1}bc^{-1} = ac^{-1}\in N\Rightarrow aRc$
   $证明同余关系,$