9.3 Products and Quotients of Semigroups 乘积半群、商半群

Products Semigroups 积半群（半群的笛卡尔积）

定理1: 两个半群的笛卡尔积也是半群。
定理2: 类似，两个幺半群的笛卡尔积也是幺半群且其幺元为$(e_S,e_T)$。

Congruence relation 同余关系

Defination: 在半群$(S,∗)$上的等价关系R，如果满足：任意$a R a’$并且$b R b’$ $\Rightarrow$ $(a∗b) R (a’∗ b’)$，则称$R$为半群上的同余关系。
回忆: 等价关系满足自反性、对称性、传递性。
解题法:

Prove Step: R是半群上的同余关系？

1. 等价关系显然（已知给出）。
2. 根据$a R a’$和$b R b’$可以推出 $(a∗b) R (a’∗ b’)$。
   Note! 等价关系不一定是同余关系。反例：

Quotients Semigroups 商半群

Defination:
其实就是按照以下步骤定义了一种二元运算：

1. $S = {a,b,c,……,a’,b’,c’,……}$
2. 设定价类$[a] = {a, a’,……},[b] = {b, b’,……},[c] = {c, c’,……},……$
3. $S/R = {[a],[b],[c],……}$
4. $S/R \times S/R = {([a],[a]),([a],[b]),([a],[c]),……}$
5. $f:S/R \times S/R \rightarrow S/R$
6. $f([a],[b]) = [c] \leftrightarrow [a] \otimes [b] = [c]$
   Note! 注意$\otimes$是等价类之间的运算，可以用代入等价类中的元素进行计算，即$[a] \otimes [b] = [a * b]$
   幺半群导出的商半群也是幺半群
   Prove:
   $[a] \otimes [e] = [a * e] = [a]=[e * a] = [e] \otimes [a]$

Natural Homomorphism 自然同态

Defination: $f_R:S \rightarrow S/R\space defined\space by\space f_R(a) = [a]$，显然满射(onto)。

*Fundamental Homomorphism 同态基本定理

Defination: 设$f:S \rightarrow T$是同态，$R$是$S$上的关系且被定义为$aRb \iff f(a) = f(b)$，那么有：
1）$R$是同余关系；
2）$T$和$S/R$同构；