9.1 群论Intro
Binary operation
Defination: 对两个对象进行操作的运算称为二元运算。一般在《离散数学》这门课中只研究离散结构，e.g. 集合。
Some Properties of Binary Operations
Closure
Defination: 设集合 S 有二元运算∗, 若对 S 中的任意两个元素 $a_1$、$a_2$, 都有: $a_1∗a_2∈S$, 则称运算∗对集合 S 封闭。
Commutative
Defination: 交换律也称为Abel 律，设有代数 $(S,∗)$，若对任意 $a_1,a_2∈S$,都符合等式: $a_1∗a_2=a_2∗a_1$,那么称代数 $(S,∗)$ 运算符合交换律。
推广: 如果 $(S,∗)$ 运算符合交换律，那么对于运算序列 $a_1∗a_2∗…∗a_n$，设 $θ(12…n)$ 为任意重排列，那么有: $a_θ(1)∗a_θ(2)∗…∗a_θ(n)=a_1∗a_2∗…∗a_n$。
Associative
Defination: if * is a binary operation, then * is associative or has the associative property:$(x * y) * z = x * (y * z)$，在运算过程中不需要再考虑括号了！
Distributive
略。
De Morgan‘s laws
扔个PPT在这。
Idempotent
Defination: $a * a = a$
Note！
An operation has a property means the statement of the property is true when the operation is used with any objects in the structure.
A binary operation on a set
Defination: Everywhere defined $f:A×A\rightarrow A$，同时需要满足封闭性和运算结果唯一，即双射性质。
Tables(运算表)
Defination: If A is a finite set, we can define a binary operation on A by means of a table.
Some Special Elements
Identity(中性元)
Defination: $e∗x=x∗e=x$
Zero(零元)
Defination: $\theta ∗ x=x ∗ \theta= \theta$
Inverse(逆元)
Defination: $x * y = y * x = e$，两者互为逆元
Note!
- 单位元以及零元的唯一性
- 如果$\left| A \right| > 1, \theta \neq e$
- 可结合的运算逆元唯一性